研究性学习在数学课堂教学中的体现

　　　　　　梁家斌

研究性学习是教育部2000年1月颁布的《全日制普通高级中学课程计划（试验修订稿）》中综合实践活动板块的一项重要内容，也是《基础教育课堂改革纲要（试行）》所规定的重要内容。对于研究性的含义，可以有广义和狭义的两种理解。

本文中的“研究性学习”是取的前一种含义，即指学生探求问题的学习，可以贯穿在各科各类学习活动中。我们认为在学科教学中开发研究性学习，尤其是高二、高三学年，有利于面对现实，着眼未来；有利于解决学生从事研究性学习的载体问题；有利于提高学生研究课题的质量。

在数学课堂教学中如何开展“研究性学习”呢？

一、问题讨论式

《标准》中提倡：问题是探究的起点，一切数学活动都应该从问题出发，到一级更高层次问题的产生，没有问题的教学正是教育的失败，由解决问题到发现问题正是对教学本质的新认识。设计问题时：应从学生的已有经验出发提出问题，引起学生对结论迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置。

案例一：高二二次曲线习题课中引进了这样一个例题：双曲线C: ，过点p(1,1)引直线l,若l与C只有一个公共点，则这样的直线l有几条？  

进一步发问：如果将点改为点（1，2）呢？在同学得到正确结论后，再问：改为（1，3）呢？通过这一系列发问能使学生明白点的变化会引起对应直线条数变化。于是提出一个一般性的问题：如果双曲线改为C： ，点改为平面上任意一点，那么又有怎样的结论呢？

点拨：点（1，1）、（1，2）、（1，3）的主要区别在于它们在平面上所处的区域不同，大家考虑问题应抓住这一个关键点。（学生继续讨论，老师继续根据情况进行点拨、总结。）

最后，在学生的主动探究下，通过老师的补充、总结，使这一问题得到了解决。

课后探讨：⑴椭圆C: ，过点p(1,3)引直线l,若l与C只有一个公共点，则这样的直线l有几条？

⑵过点P（－1,2）引直线l，若直线l与抛物线y²＝4x只有一个交点，则直线l有几条？这里的直线条数又跟什么有关呢？

⑶小结：直线与二次曲线的位置关系及判定方法。

案例二：在讲高二数学下(B)第23页例4时，我如下设计：

例 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

变：⑴求证：∠BAP＞∠BAO

⑵已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且只有（　）

A、1条　　　　　B、2条　　　　　C、3条　　　　D、4条

⑶已知异面直线a、b所成的角为80°，P为空间一点，若过点P有且只有两条直线与a、b所成角都是θ，则θ的取值范围是（　）

A、0°＜θ＜40°　            B、°40＜θ＜50°

C、40°＜θ＜90°　　         D、50°＜θ＜90°

⑷异面直线a、b所成的角为60°，P为空间一点，则过点P且与a、b所成角都是60°角的直线有＿条。

⑸异面直线a、b所成的角为60°，P为空间一点，若过点P且与a、b所成角都是θ的直线，①有且只有一条，则θ∈＿；②有且只有二条，则θ∈＿；③有且只有三条，则θ∈＿；④有且只有四条，则θ∈＿。

通过变式训练，从特例中寻找一般规律,这种教与学的方法，使学生的探索更灵活、更主动，而且对学习数学也会更有信心。

二、创设情境式

建构主义者主张在教学过程中，向学习者提供解决问题的原型，强调具体情境中形成的具体经验背景对建构的重要作用。《标准》中提出要引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要学数学，我能用数学。

案例三：在正弦定理的教学时，设计了如下情境：如图1一条河的两岸平行，河宽d＝1km。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度｜v ₁｜＝5km/ h，水流速度｜v ₂｜＝3km/ h。

为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选了几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

⑴船应开往B处还是C处？

⑵船从A开到B、C分别需要多少时间？

⑶船从A到B、C的距离分别是多少？

⑷船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

⑸船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题⑴，需要解决问题⑵，要解决问题⑵，需要先解决问题⑶和⑷，问题用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题⑷，问题⑷与问题⑸是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题⑷和⑸。

案例四：在讲解8.1节椭圆时，正值神州五号飞船发射成功，设计如下情境：10月15日神州五号在酒泉卫星发射中心发射升空，在342千米高度上飞行21小时，绕地球飞行14圈，问：⑴飞船的轨迹是什么？⑵如果告诉我们近地点与远地点，你能否求出飞船的轨迹方程？这个情境正是学生当前关注的热点，也正好作为椭圆定义引出的实例。

三、小组合作式

　　《标准》中提出：对不同的内容，可采用不同的教学和学习方式。例如，可采用收集资料、调查研究等方式，也可采用实践探索、自主研究、合作交流等方式，还可采用阅读理解、讨论交流、撰写论文等方式。

案例五：在讲“函数的应用举例”后，课本后安排有一实习作业，由于课堂时间有限，我们要求学生将课本第142页第8题改写成一份实习报告，前后四名同学组成一个学习小组，大约半节课的时间，学生的实习报告基本成雏形。在此列举其一：

实习报告           2002年11月5日

问题：如果你是某市区居民住房的兴建与拆除的领导，请问：题中涉及到“拆除与兴建”，我们先拆后建，还是先建后拆？从数学角度分析，二者有无区别？同学们瞬间议论纷纷，课堂一下子热闹起来，但很快就有了结论：先建后拆。我问一位平时有点淘气的同学，为何要先建后拆？他说如果我是领导，我得为我的子民着想，先拆后建，那他们住哪呀？然后从数学角度又分析了“先建后拆”和“先拆后建”的本质区别。

小组学习式的模式，将全班同学分成4个（或多个）学习小组，学生们同来自其他小组的成员进行竞赛，以便为他自己的小组赢取分数，在合作小组中，确定两种角色，一是学习的操作者，另一是学习的检查者，两种角色可由小组中的成员轮流担任，也可在组内竞选操作者，由学习成绩较好、责任心强的同学担任检查者，一般分为这样几个步骤：

　　第一：把学生划分为4个学习小组，明确学习任务，建立合作学习情境，引发积极的学习状态。例如：在第九章直线、平面、简单几何体的章节复习中，我将班级同学分成4个学习小组，让他们对照考试要求、课本知识结合各自的课堂笔记、参考资料，进行整理和学习，进而总结出本章的知识点、题型、解题思想与方法及注意点。

　　第二：选择学习的具体内容，并进行第一次角色分工，包括确定操作者和检查者。根据学习任务，学生在全面复习本章的基础上，每个大组以2－3人为一学习小组，有重点的选择一个内容，比如垂直的判定方法，平行的判定方法，空间角、距离等。在小组内，由学生自己确定操作者和检查者，然后进行学习。

　　第三：操作者进行口头报告。以空间角为例，当操作者复习相关内容后，要向检查者进行口头报告：①角的定义，②角的范围，③求角的方法及步骤，④常见题型及解题注意点。

　　第四：检查者进行检查和评价，检查操作者口头报告中存在的错误和疏漏，并对口头报告进行评价和建议，促进操作者的学习活动。

　　第五：交换角色，继续学习，重复第三、第四步。

　　第六：各小组派代表，向教师和全班学生汇报学习结果，根据评价标准（困难的是标准如何制定），各小组轮流为其他小组进行评价，并公布评价结果。

    四、试题开放式

对一些数学问题的讲解也应该堂前精心设计，开放结论，使他们逐步形成一种对任何困难都勇于探索的精神。

案例六：在高二期末复习时，编制这样的开放题：在我国江汉平原上有四个村庄恰好座落在边长为2km的正方形顶点上，为此，需要建立一个使得任何两个村庄都可通用的道路网，请设计一个道路网，使它的总长度不超过5.5km（取 ＝1.4142， ＝1.73217）。此题只是用一般性的语言来描述问题的背景，这样所给出的题目有相当的不确定性，它的推理过程没有现成的模式可套，因此在解题方法被发现或作出设计之前，就得首先探索信息，然后将问题数学化。

五、专题研究式

在章节复习或高三后阶段复习时，可采用专题研究的形式：课前将要研究的问题告诉学生，让每位学生认真研究收集相关问题，以小组为单位课前进行交流、整理，每个小组推举一人准备课上交流发言，如：《值域在解析几何中的应用》，《有关分段函数的常见题型及解法》、《线面垂直在立体几何中的地位和作用》、《高考中如何对二项式定理的考查》、《证明垂直关系的主要途径》等等。

案例七　第九章直线、平面、简单几何体章节复习前，我将任务下达给每个人，请他们以小组为单位进行总结回顾整理，然后选派代表上台回报。

六、反思延伸式                                                                        

纵向深入、横向拓展的反思延伸，对培养与发展思维的创造性有重要的促进作用。

案例八：高二9.5节，讲解过平行六面体的定义后，我们布置下面这道题让学生课后思考：

如果空间的三条直线a、b、c两两成异面直线，那么和a、b、c都相交的直线有（　）

A、0条　　　B、1条　　　　C、多于1条的有限条　　　D、无穷多条

案例九　在讲解高二下(B)33页正投影和46页例2，布置了一道思考题：

设A(2,3，1)、B(4,1，2)、C(6,3，7)、D(－5，－4,8)，求点D到平面ABC的距离。

案例十　在讲解高二下(B)球的体积与表面积公式后，出了一道思考题：

椭圆绕它的一条轴旋转一周所得到的几何体叫做椭球，或空间与两个定点F1、F2距离的和小于等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭球。

设椭球是由长半轴为a，短半轴为b的椭圆绕其短轴所在直线旋转得到的，试用a、b表示该椭球的体积。

案例十一　在讲解高二上6.2节后出了一道思考题：怎样洗衣服既可将衣服漂干净，又能最大限度地节约水？

国务院最近所颁布的《关于基础教育改革与发展的决定》第23条指出：“继续重视基础知识、基本技能的教学并关注情感、态度的培养；充分利用各种课程资源，培养学生收集、处理和利用信息的能力；开展研究性学习，培养学生提出问题、研究问题、解决问题的能力；鼓励合作学习，促进学生之间相互交流、共同发展，促进师生教学相长。”国务院的《决定》充分肯定了“研究性学习”的价值和意义。目前课堂教学大多数可用一句古话 “鸳鸯绣出从君看，不与郎君度金针”来形象表示，开展“研究性学习”就是“鸳鸯既要绣出，金针亦须度尽”，把学习的主动权交给学生，教学生学会怎样学习和学会怎样思考，进而培养学生的以简驭繁、审同辨异、判美析理、鉴赏力等能力；使教师自己从授人以业到授人以法进而授人以道。

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